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已知函數(shù)f（x)=2x+5/x+1。x∈（0，∞)（1)用定義法證明函數(shù)f（x)在區(qū)間（0,+∞)上是減函數(shù)，并求其在區(qū)間

已知函數(shù)f(x)=2x+5/x+1。x∈(0，∞)(1)用定義法證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù)，并求其在區(qū)間[1,17]上的最大值和最小值;(2)試求滿足f(1+a)＞f (3-a)的實數(shù)a的取值范圍.(3)設g(x)是定義在R上的一個奇函數(shù)，當x ∈(0, +∞)，g(x)= f(x)，求g(x)在R上的解析式。

參考答案：答案：(1) 要用定義法證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(0, +∞)上是減函數(shù)，我們需要證明對于任意的x1, x2屬于(0, +∞)，且x1 < x2，都有f(x1) > f(x2)。設x1, x2屬于(0, +∞)且x1 < x2，根據(jù)f(x)的定義，我們有： f(x1) - f(x2) = (2x1 + 5)/(x1 + 1) - (2x2 + 5)/(x2 + 1) 要證明f(x1) > f(x2)，即證明f(x1) - f(x2) > 0。將上面的差進行通分，得到： f(x1) - f(x2) = [(2x1 + 5)(x2 + 1) - (2x2 + 5)(x1 + 1)] / [(x1 + 1)(x2 + 1)] 化簡得： f(x1) - f(x2) = [2x1x2 + 2x1 + 5x2 + 5 - 2x1x2 - 2x2 - 5x1 - 5] / [(x1 + 1)(x2 + 1)] 進一步化簡得： f(x1) - f(x2) = (5x2 - 5x1) / [(x1 + 1)(x2 + 1)] 因為x1 < x2，所以5x2 - 5x1 > 0，同時(x1 + 1)(x2 + 1) > 0，因此f(x1) - f(x2) > 0。所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0, +∞)上是減函數(shù)。接下來求區(qū)間[1,17]上的最大值和最小值。由于f(x)是減函數(shù)，那么在區(qū)間[1,17]上，最大值出現(xiàn)在區(qū)間的左端點x=1，最小值出現(xiàn)在區(qū)間的右端點x=17。計算f(1)和f(17)： f(1) = (2*1 + 5)/(1 + 1) = 7/2 = 3.5 f(17) = (2*17 + 5)/(17 + 1) = 39/18 = 13/6 ≈ 2.1667 所以，區(qū)間[1,17]上的最大值為3.5，最小值為13/6。 (2) 要求滿足f(1+a) > f(3-a)的實數(shù)a的取值范圍，由于f(x)是減函數(shù)，我們有： 1+a > 3-a 解這個不等式得到： 2a > 2 a > 1 所以實數(shù)a的取值范圍是(1, +∞)。 (3) 已知g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x屬于(0, +∞)，g(x) = f(x)。由于奇函數(shù)的性質是g(-x) = -g(x)，我們可以得到當x屬于(-∞, 0)時，g(x)的表達式。對于任意x屬于(-∞, 0)，有-x屬于(0, +∞)，因此g(-x) = f(-x)。由于f(x) = 2x + 5/(x + 1)，我們有： f(-x) = 2(-x) + 5/(-x + 1) = -2x - 5/(x - 1) 由于g(x)是奇函數(shù)，所以g(x) = -g(-x)，因此： g(x) = -(-2x - 5/(x - 1)) = 2x + 5/(x - 1) 所以，g(x)在R上的解析式為： g(x) = \begin{cases} 2x + 5/(x + 1) & \text{if } x \geq 0 \\ 2x + 5/(x - 1) & \text{if } x < 0 \end{cases}

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